Wissen Sie noch, was eine Primzahl ist? – Genau. Jede ganze natürliche Zahl größer 1, die nur durch sich selbst und 1 ohne Rest teilbar ist.

Die Primzahlenfolge beginnt also mit 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, …

Warum hört diese Folge nun nicht irgendwann auf?

Beweis durch Widerspruch – das heißt: Nehmen Sie mal an, es gäbe eine größte Primzahl, nennen wir sie P. Jetzt „konstruieren“ wir aus P eine größere natürliche Zahl, die auch Primzahl ist …

Multiplizieren Sie dazu P mit allen Primzahlen, die kleiner sind als P. Das ergibt natürlich keine Primzahl. Wenn Sie nun aber zu der erhaltenen Zahl 1 dazuzählen, dann haben Sie wieder eine Primzahl, denn egal durch welche Zahl Sie ihre neue Primzahl teilen möchten, es bleibt immer 1 Rest. Und Ihre neue Primzahl ist selbstverständlich auch größer als P es war.

Jetzt haben Sie einen Widerspruch zu Ihrer Annahme, dass P die größte Primzahl sei. Es gibt also zu jeder Primzahl P immer eine weitere Primzahl, die größer ist als P.

Versuchen Sie´s mal mit den oben angegebenen Primzahlen:
Nehmen wir an, 5 sei die größte Primzahl. Dann ist 5 x 3 x 2 + 1 = 31 wieder eine Primzahl.
Wenn Sie dasselbe Spiel mit 17 machen, bekommen Sie 510511 als größere Primzahl.
Für die Annahme, 101 sei die größte Primzahl, dürfen Sie selber rechnen …